内積とは

30秒30秒で分かる要約

科目：線形代数難易度：標準学習時間：約55分

内積は、2本のベクトルがどれほど同じ方向を向くかを数で表す演算です。 内積から長さ、距離、角度、直交性を一つの仕組みで定められます。

GOALこの記事で分かること

• 標準内積を計算し、ノルム・距離・角度を求められる
• 実ベクトル空間の内積の4条件を説明できる
• コーシー・シュワルツの不等式が角度を定義可能にする理由を理解する
• 標準内積以外の内積を見分けられる

PRE前提知識

ベクトルとはとベクトル空間と部分空間を使います。

なぜ内積が必要なのか

ベクトルの加法とスカラー倍だけでは、長さや角度は測れません。内積を加えると、「近い」「垂直」「同じ向き」といった幾何学を、数式で扱えるようになります。

IDEA向きの似かたを測る

$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$ が正なら同じ向きの成分が多く、負なら反対向きの成分が多く、0なら互いに垂直です。ただし、この説明は標準内積から得られる幾何学についての直感です。

標準内積

DEFR^n の標準内積

$\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf T}$、$\boldsymbol{y}=(y_1,\ldots,y_n)^{\mathsf T}$ に対し

$$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle =x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\boldsymbol{x}^{\mathsf T}\boldsymbol{y}$$

を標準内積といいます。結果はベクトルではなく実数です。

EX二次元と三次元の計算

$$\left\langle\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\right\rangle=1,$$$$\left\langle\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\right\rangle=2-2+6=6.$$

一般の内積

DEF実ベクトル空間の内積

実ベクトル空間 $V$ 上の内積とは、$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ に実数 $\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$ を対応させ、次を満たす演算です。

1. 対称性：$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\rangle$
2. 第1変数の加法性：$\langle\boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle+\langle\boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\rangle$
3. 第1変数の斉次性：$\langle a\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=a\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle$
4. 正定値性：$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle\ge0$ で、等号は $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ のときに限る

対称性により、第2変数についても線形になります。

EX標準内積以外の例

正の数 $w_1,\ldots,w_n$ に対する重み付き内積

$$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle_w=\sum_{i=1}^n w_ix_iy_i$$

も内積です。多項式や連続関数には

$$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)\,dt$$

という内積を考えられます。

複素ベクトル空間では一方の変数を共役線形にし、対称性の代わりに共役対称性を使います。本記事では実数上だけを扱います。

ノルム・距離・角度

DEF内積から定まる量

$$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle},\qquad d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|.$$

非零ベクトル同士の角度 $\theta\in[0,\pi]$ は

$$\cos\theta=\frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle} {\|\boldsymbol{x}\|\,\|\boldsymbol{y}\|}$$

で定めます。

EX長さ・距離・角度

$\boldsymbol{x}=(1,1)^{\mathsf T}$、$\boldsymbol{y}=(1,0)^{\mathsf T}$ なら

$$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt2,\quad d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=1,\quad \cos\theta=\frac1{\sqrt2},$$

したがって $\theta=\frac{\pi}{4}$ です。

コーシー・シュワルツの不等式

THMコーシー・シュワルツの不等式

任意の $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ に対して

$$|\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle| \le \|\boldsymbol{x}\|\,\|\boldsymbol{y}\|$$

が成り立ちます。等号は一方が零ベクトルか、2本が一次従属のときに限ります。

∵証明

$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$ なら成立します。$\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{0}$ とし、

$$\boldsymbol{z}=\boldsymbol{x}- \frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle}{\|\boldsymbol{y}\|^2}\boldsymbol{y}$$

と置きます。$\|\boldsymbol{z}\|^2\ge0$ を展開すると

$$0\le\|\boldsymbol{x}\|^2- \frac{\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle^2}{\|\boldsymbol{y}\|^2}.$$

両辺に $\|\boldsymbol{y}\|^2$ を掛けて平方根を取れば結論を得ます。等号は $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{0}$、つまり $\boldsymbol{x}$ が $\boldsymbol{y}$ のスカラー倍のときです。

この不等式により角度の式の右辺は $-1$ 以上 $1$ 以下になり、余弦として意味を持ちます。また、これを使うと

$$\|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\le\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|$$

という三角不等式も得られます。

!成分ごとの積ではない

内積の結果は1個の実数です。また「内積＝対応する成分積の和」は標準内積の場合です。重み付き内積や積分による内積では式が変わります。

練習問題

Q内積・ノルム・角度★☆☆

$\boldsymbol{x}=(1,2,-1)^{\mathsf T}$、$\boldsymbol{y}=(2,0,2)^{\mathsf T}$ の内積、各ノルム、角度を求めてください。

HINTヒントを見る

まず内積が0になるか調べます。

ANS解答を見る

$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=2+0-2=0$、$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt6$、$\|\boldsymbol{y}\|=2\sqrt2$ です。内積が0なので $\cos\theta=0$、したがって $\theta=\frac{\pi}{2}$ です。

Q重み付き内積★★☆

$\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle_w=x_1y_1+2x_2y_2$ とします。$\boldsymbol{x}=(2,1)^{\mathsf T}$ と内積が0になり、重み付きノルムが1であるベクトルを一つ求めてください。

HINTヒントを見る

$2y_1+2y_2=0$ から方向を求め、最後に正規化します。

ANS解答を見る

$y_1=-y_2$ なので $(1,-1)^{\mathsf T}$ の方向です。その重み付きノルムの2乗は $1+2=3$ です。よって

$$\boldsymbol{y}=\frac1{\sqrt3}(1,-1)^{\mathsf T}$$

が条件を満たします。

Q直交する単位ベクトルを求める★★★

$u=(1,2)$ に直交する $\mathbb R^2$ の単位ベクトルをすべて求めてください。標準内積を使います。

HINTヒントを見る

$u$ に直交するベクトルは $t(-2,1)$ と表せます。ノルムが1となる $t$ を求めます。

ANS解答を見る

$t(-2,1)$ のノルムは $|t|\sqrt5$ です。これが1となるのは $t=\pm\frac{1}{\sqrt5}$ なので、求めるベクトルは

$$\frac1{\sqrt5}(-2,1),\qquad \frac1{\sqrt5}(2,-1)$$

です。

KEY要点のまとめ

• 内積は対称性・線形性・正定値性を満たす実数値の演算
• ノルムは長さ、距離は差のノルム、角度は正規化した内積から定まる
• コーシー・シュワルツの不等式が角度の定義を保証する
• 内積は標準内積だけではない

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