重積分と二重積分

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約90分

二重積分は平面領域を細かな小長方形に分け、関数値×面積の和の極限を取る操作です。

GOALこの記事で分かること

• 二重リーマン和から二重積分を説明できる
• 一般領域を不等式で表せる
• 面積・平均値・質量を二重積分で表せる
• 定数関数と多項式を積分できる

PRE前提知識

リーマン積分と多変数関数を使います。

二重積分の考え方と定義

IDEA細い柱の符号付き体積を足す

一変数積分が細長い長方形の面積を足すのに対し、二重積分は底面が小長方形、高さが $f(x,y)$ の柱を足します。負の関数値は負の体積として数えます。

DEF長方形上の二重積分

$R=[a,b]\times[c,d]$ を縦横に分割し、小長方形 $R_{ij}$ の面積を $\Delta A_{ij}$、その中の標本点を $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ とします。分割の最大辺長を0へ近づけたとき $\sum_{i,j}f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\Delta A_{ij}$ が標本点によらず同じ極限へ収束すれば、その値を $\iint_R f(x,y)\,dA$ と定めます。連続関数ならこの積分は存在します。

一般領域 $D$ では $D$ の外で関数を0とする考え方や、領域を長方形で近似する方法で定義します。領域は例えば $D=\{(x,y):0\le x\le1,,0\le y\le x\}$ のように明示します。

面積・平均値・質量の例

EX定数・面積・多項式

$R=[0,2]\times[0,3]$ なら $\iint_R 1\,dA=6$、$\iint_R 5\,dA=30$ です。また $\iint_R(x+y)\,dA=\int_0^2\int_0^3(x+y)\,dy\,dx=15.$ 最初の式は領域の面積、最後の式は符号付き体積です。

EX平均値と質量

有限面積 $|D|$ 上の平均値は $|D|^{-1}\iint_D f\,dA$。薄板の面密度が $\rho(x,y)\ge0$ なら質量は $M=\iint_D\rho\,dA$ です。

積分領域に関する注意

!よくある誤解

被積分関数 $f$ と積分領域 $D$ は別の情報です。二重積分は単に「積分記号を2回書く」ことではなく、まず平面領域上のリーマン和の極限として定義されます。

練習問題

Q基本：定数関数★☆☆

$D=[-1,1]\times[0,4]$ で $\iint_D3\,dA$ を求めてください。

HINTヒントを見る

面積に3を掛けます。

ANS解答を見る

$|D|=2\cdot4=8$ なので積分値は24です。

Q標準：多項式★★☆

$[0,1]^2$ 上で $x^2+y$ を積分してください。

HINTヒントを見る

各項を別々に積分できます。

ANS解答を見る

$\int_0^1\int_0^1(x^2+y)\,dy\,dx=\int_0^1(x^2+\frac{1}{2})\,dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。

Q発展：平均値★★★

三角形 $D=\{0\le x\le1,0\le y\le x\}$ 上の $f=x$ の平均値を求めてください。

HINTヒントを見る

$|D|=\frac{1}{2}$ です。

ANS解答を見る

$\iint_Dx\,dA=\int_0^1\int_0^x x\,dy\,dx=\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}$。平均値は $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$ です。

KEY要点のまとめ

• 二重積分は二重リーマン和の極限
• $\iint_D1\,dA$ は領域の面積
• 密度の積分は質量を表す
• 被積分関数と積分領域を別々に指定する

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