固有値・固有ベクトルによる連立系の解法

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：発展学習時間：約130分

$\boldsymbol x'=A\boldsymbol x$ に $e^{\lambda t}\boldsymbol v$ を試すと、微分方程式が固有値問題 $A\boldsymbol v=\lambda\boldsymbol v$ へ変わります。

GOALこの記事で分かること

• 実固有値・複素固有値から実数解を作る
• 重複度と対角化可能性を区別する
• 固有値の実部から安定性を読む

PRE前提知識

固有値・固有ベクトル、対角化、線形独立、基底と次元を使います。

$\boldsymbol x=e^{\lambda t}\boldsymbol v$ を代入すると $(A-\lambda I)\boldsymbol v=0$。固有対ごとに解 $e^{\lambda t}\boldsymbol v$ が得られます。

固有値法による連立系の解法

EX異なる実固有値と初期条件

$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$ の固有対は $(2,\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix})$、$(1,\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix})$。一般解は $\boldsymbol x=C_1e^{2t}\binom10+C_2e^t\binom{-1}1.$ $\boldsymbol x(0)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ なら $C_2=1,C_1=1$。

複素固有値と重複固有値

EX複素共役固有値

$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ は固有値 $\pm i$。複素解の実部・虚部から $\boldsymbol x=C_1\binom{\cos t}{\sin t}+C_2\binom{-\sin t}{\cos t}$ を得ます。軌道は円で、実部0なので減衰しません。

代数的重複度は特性多項式での根の重複度、幾何学的重複度は固有空間の次元です。

EX重複固有値

$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ は固有値1が二重ですが固有ベクトルは1本。対角化できず、一般化固有ベクトルにより $\boldsymbol x=e^t\left[C_1\binom10+C_2\left(t\binom10+\binom01\right)\right].$

全固有値の実部が負なら原点は漸近安定、正の実部があれば不安定です。固有ベクトル方向は直線軌道になります。

対角化可能性に関する注意

!よくある誤解

固有値の重複だけで対角化不能とは限りません。独立な固有ベクトルの本数を確認します。

練習問題

Q基本：対角系★☆☆

$A=\operatorname{diag}(1,-2)$ の一般解。

HINTヒントを見る

標準基底が固有ベクトル。

ANS解答を見る

$\boldsymbol x=\begin{pmatrix}C_1e^t\\C_2e^{-2t}\end{pmatrix}$。

Q標準：固有対★★☆

$A=\begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}$ の一般解。

HINTヒントを見る

固有値3,2。

ANS解答を見る

$\lambda=3$ で $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$、$\lambda=2$ で $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。$\boldsymbol x=C_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+C_2e^{2t}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。

Q発展：安定性★★★

固有値 $-1\pm3i$ の平衡点の安定性を答えてください。

HINTヒントを見る

実部を見る。

ANS解答を見る

実部がともに $-1$ なので局所的に回転しながら原点へ近づく安定螺旋です。

KEY要点のまとめ

• 固有対は指数関数型の解を与える
• 複素解の実部・虚部から実数解を作る
• 代数的重複度と幾何学的重複度は別物

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