置換積分

置換積分の公式

$u=g(x),du=g'(x)dx$ は便利な形式表記ですが、通常の数の置換ではなく連鎖律と基本定理に基づきます。

三角置換は根号を含む式に有効な発展手法です。置換は一意でなく、置換しても単純にならない場合もあります。

Qべき★☆☆

$\int3x^2(x^3+2)^4dx$ 。

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$u=x^3+2$ 。

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$\frac{(x^3+2)^5}{5}+C$ 。

Q対数★★☆

$\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx$ 。

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$u=x^2+1$ 、端点は1と2。

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$\frac12\int_1^2\frac{du}{u}=\frac12\log2$ 。

Q誤りを指摘★★★

$u=x^2$ とした後も $\int_0^1f(u)du$ に元の $x$ を残してよいですか。

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積分変数を統一します。

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不可です。被積分関数・微分因子・端点をすべて新変数へ変えるか、最後に全て元へ戻します。