ロルの定理と平均値の定理

∵証明

最大値・最小値の定理により $f$ は $[a,b]$ で最大値と最小値を取ります。定数関数なら任意の内点で $f'=0$ 。定数でなければ最大値か最小値の少なくとも一方は端点値と異なるため、内点 $c$ で取られます。内点の微分可能な局所極値では、左右の差の商の符号から $f'(c)=0$ です。

∵証明

割線を表す一次関数 $\ell(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ を置き、 $g(x)=f(x)-\ell(x)$ とします。 $g(a)=g(b)=0$ で、連続性と微分可能性も保たれます。ロルの定理から $g'(c)=0$ 。したがって $f'(c)=\ell'(c)$ です。

定理を使う計算例

仮定はどれも重要です。 $f(x)=\frac{1}{x}$ を $[-1,1]$ で考えると区間全体で連続でありません。 $f(x)=|x|$ は $[-1,1]$ で連続で端点値も等しいものの、0で微分可能でなく、導関数0の点はありません。閉区間での連続性と開区間での微分可能性を別々に確認します。

平均値の定理から、区間で $f'=0$ なら任意の二点間の差が0となるため $f$ は定数です。また $f'>0$ なら増加、 $f'<0$ なら減少します。コーシーの平均値の定理は二つの関数を同時に扱う一般化で、ロピタルの定理への道具にもなります。

仮定に関する注意

練習問題

Qcを求める★☆☆

$f(x)=x^3$ を $[0,2]$ に適用し、平均値の定理の $c$ を求めてください。

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平均変化率は4、導関数は

3x^2

。

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3c^2=4

より

c=\frac{2}{\sqrt3}

。これは

(0,2)

に入ります。

Q定数関数の証明★★☆

区間 $I$ で微分可能な $f$ が $f'(x)=0$ を満たすなら定数であることを示してください。

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任意の

x<y

に平均値の定理を使います。

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f(y)-f(x)=f'(c)(y-x)=0

となる

c\in(x,y)

が存在します。よって任意の二点で関数値が等しく、

f

は定数です。

Q仮定を外す反例★★★

$f(x)=|x|$ にロルの定理を適用できない理由を説明してください。

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区間

[-1,1]

で三つの仮定を点検します。

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閉区間で連続かつ端点値は等しいですが、0で微分可能ではありません。実際、

(-1,0)

では導関数

-1

、

(0,1)

では1で、

f'(c)=0

となる点はありません。