広義積分

なぜ極限が必要なのか

通常の定積分は有限区間上の有界な関数を考えます。しかし、確率や微分方程式では無限区間や $\frac{1}{x}$ のような非有界関数が現れます。そこで、まず安全な有限区間で積分し、その端を限界へ近づけます。

Q基本：p積分★☆☆

$\int_1^\infty x^{-\frac{3}{2}}dx$ の収束と値を求めてください。

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p=\frac{3}{2}

を使います。

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p>1

なので収束し、値は

\frac{1}{p-1}=2

です。

Q標準：原点の特異点★★☆

$\int_0^1x^{-\frac{2}{3}}dx$ を判定してください。

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0

を直接代入せず

\varepsilon\to0+

とします。

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p=\frac{2}{3}<1

なので収束します。

\lim_{\varepsilon\to0+}[3x^{\frac{1}{3}}]_\varepsilon^1=3

です。

Q発展：絶対収束★★★

$\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2}\,dx$ が収束することを示してください。

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|\sin x|\le1

と比較します。

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|\frac{\sin x}{x^2}|\le\frac{1}{x^2}

で、右辺の積分は収束します。したがって絶対収束し、元の積分も収束します。