直接証明・対偶・背理法

証明の基本形

証明末尾の $\square$ は証明終了を表します。具体例を多数確認しても全称命題の証明にはなりませんが、反例一つで全称命題を否定できます。

対偶証明は含意を別の同値な含意へ変えます。背理法は証明したい結論全体を否定して矛盾を導きます。

存在命題は具体的な対象を構成すれば証明できます。一意存在では、まず存在を示し、次に二つの候補 $x,y$ を仮定して $x=y$ を示します。必要十分条件は二方向を分けて証明します。

Q直接証明★☆☆

奇数同士の積が奇数であることを直接証明してください。

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$a=2m+1,b=2n+1$ と置きます。

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$ab=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$ です。括弧内は整数なので積は奇数です。

Q対偶で証明★★☆

整数 $n$ について、 $3\nmid n$ なら $3\nmid n^2$ であることを証明してください。

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対偶「 $3\mid n^2$ なら $3\mid n$ 」を、 $n$ の3で割った余りから示します。

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$n$ の余りが1または2なら、 $n^2$ の余りはいずれも1です。したがって $3\mid n^2$ なら余りは0で、 $3\mid n$ です。対偶より元の命題が成り立ちます。

Q反例を探す★★★

「実数 $a,b$ について $ab=0$ なら $a=b=0$ 」を検討してください。

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一方だけを0にします。

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偽です。 $a=0,b=1$ なら $ab=0$ ですが $b\ne0$ です。正しい結論は「 $a=0$ または $b=0$ 」です。一つの反例で全称命題を否定できます。