固有値の型により、平衡点近くの軌道は安定節点・鞍点・渦心など異なる形になります。
線形系では固有値から分類できます。
| 固有値 | 分類 |
|---|
| 負の実固有値2個 | 安定節点 |
| 正の実固有値2個 | 不安定節点 |
| 異符号の実固有値 | 鞍点 |
| 純虚数 | 渦心（漸近安定ではない） |
| 複素根、実部負／正 | 安定／不安定螺旋 |
非線形系 x′=F(x) の平衡点 x∗ では、ヤコビ行列 J=DF(x∗) が局所線形化です。固有値の実部が全て0でない平衡点を双曲型といい、線形化が局所的な安定型を正しく与えます。
x′=−y,y′=x は純虚数固有値で渦心です。また x′=x3,y′=−y では原点の固有値に0が含まれ、線形化だけでは x 方向の不安定性を判定できません。
Q基本：節点★☆☆
x′=−x,y′=−2y を分類してください。
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原点は安定節点。全ての解が指数的に原点へ近づきます。
Q標準：ヌルクライン★★☆
x′=x−y,y′=x+y−2 の平衡点を求めてください。
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y=x と
x+y=2 の交点。
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Q発展：判定不能★★★
x′=−x3,y′=−y の原点を調べてください。
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線形化の固有値は
0,−1。符号を直接見る。
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x=0 では
x′=−x3 が0へ向き、
y も減衰するので原点は漸近安定。ただし固有値0のため線形化だけからは結論できません。