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大学数学の道しるべ

定積分とリーマン積分

曲線の下を標本点の高さを持つ複数の長方形で近似する図
各長方形の面積 f(ξᵢ)Δxᵢ を足し、最大幅を0へ近づけた極限がリーマン積分です。

定数なら ∫abcdx=c(b−a)\int_a^b cdx=c(b-a)。積分は線形で、区間について加法的です。また ∫baf=−∫abf,∫aaf=0.\int_b^a f=-\int_a^b f,\quad \int_a^a f=0.

f≤gf\le g なら積分も同じ順序で、∣∫f∣≤∫∣f∣|\int f|\le\int|f|。負の部分は定積分へ負として寄与するため、幾何学的面積には ∣f∣|f| や区間分割が必要です。

閉区間上の連続関数はリーマン積分可能です。

有界だけでは不十分です。有理数で1、無理数で0のディリクレ関数は標本点により和が変わり可積分でありません。一点だけ不連続な有界関数や階段関数は可積分です。

練習問題

Section titled “練習問題”
Q定数関数の積分★☆☆

∫253 dx\int_2^5 3\,dx を求めてください。

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長方形の高さ×符号付き幅を使います。
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3(5−2)=93(5-2)=9 です。
Q符号付き面積★★☆

∫−11x dx\int_{-1}^1x\,dx と幾何学的面積を比較してください。

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正負が打ち消し合います。
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定積分は0。幾何学的面積は二つの三角形の和で1です。
Q区間の向き★★★

∫31f=−∫13f\int_3^1f=-\int_1^3f をリーマン和の向きから説明してください。

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各小区間幅の符号が反転します。
ANS解答を見る
分点の順を逆にすると各 Δxi\Delta x_i が反対符号となるため、和と極限も反対符号です。