一階線形微分方程式と積分因子

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：標準学習時間：約100分

積分因子を掛け、左辺を1つの積の微分 $(\mu y)'$ にまとめます。 公式は暗記するより、積の微分公式から毎回組み立てる方が安全です。

GOALこの記事で分かること

• 方程式を標準形へ直して線形性を判定できる
• 積分因子を導き、左辺を積の微分にできる
• 定数係数・変数係数・非同次の例を解ける
• 初期条件と係数の定義域から有効区間を決められる

PRE前提知識

変数分離形と積の微分を使います。

DEF一階線形微分方程式

未知関数 $y=y(x)$ について $y'+p(x)y=q(x)$ と書ける方程式です。$q=0$ なら同次、$q\ne0$ なら非同次です。最初の式で $y'$ の係数が1でなければ、0でない範囲で割って標準形にします。

積分因子の導出

両辺に関数 $\mu(x)$ を掛けると $\mu y'+\mu p y=\mu q.$ 左辺を $(\mu y)'=\mu y'+\mu' y$ にしたいので、$\mu'=p\mu$ を要求します。したがって $\mu(x)=\exp\left(\int p(x)\,dx\right)$ を選べばよく、

$$(\mu y)'=\mu q,\qquad y=\frac1\mu\left(\int \mu q\,dx+C\right).$$

を得ます。積分因子を0でない定数倍しても、その定数は最後に消えるため本質的に同じです。

EX定数係数の初期値問題

$y'+2y=4, y(0)=1$ では $\mu=e^{2x}$。よって $(e^{2x}y)'=4e^{2x},\qquad e^{2x}y=2e^{2x}+C.$ $y=2+Ce^{-2x}$、初期条件から $C=-1$ なので $y=2-e^{-2x}$。代入すると $y'+2y=2e^{-2x}+4-2e^{-2x}=4$ です。

EX変数係数の例

$y'+\frac{y}{x}=x^2$ を $x>0$ で解きます。$\mu=e^{\int \frac{dx}{x}}=x$ なので $(xy)'=x^3,\qquad xy=\frac{x^4}{4}+C,\qquad y=\frac{x^3}{4}+\frac Cx.$ 係数 $\frac{1}{x}$ があるため、この式は0をまたぐ1つの解として扱わず、$x>0$ または $x<0$ の区間ごとに考えます。

EX非同次項を含む例

$y'-y=e^{2x}$ では $\mu=e^{-x}$。したがって $(e^{-x}y)'=e^x,\qquad y=e^{2x}+Ce^x.$ 微分して $y'-y=(2e^{2x}+Ce^x)-(e^{2x}+Ce^x)=e^{2x}$ と確認できます。

同次方程式では解の和・定数倍も解です。非同次方程式では2つの解の差が同次解になりますが、解の和が同じ非同次方程式の解になるとは限りません。

!よくある誤解

$a(x)y'+b(x)y=c(x)$ では、まず $a(x)\ne0$ の区間で割ります。積分因子や解公式は、その区間内でのみ使えます。

$y'+p(x)y=q(x)y^n$（$n\ne0,1$）はベルヌーイ方程式と呼ばれ、$z=y^{1-n}$ によって一階線形方程式へ変換できます。定数解を失わない確認が必要な発展的手法です。

練習問題

Q基本：積分因子★☆☆

$y'+3y=0$ の積分因子と一般解を求めてください。

HINTヒントを見る

$p=3$ です。

ANS解答を見る

$\mu=e^{3x}$ で $(e^{3x}y)'=0$。したがって $y=Ce^{-3x}$。代入すると $y'+3y=0$ です。

Q標準：初期値問題★★☆

$y'+y=2x, y(0)=1$ を解いてください。

HINTヒントを見る

$\mu=e^x$、$\int2xe^x dx=2e^x(x-1)$。

ANS解答を見る

$e^xy=2e^x(x-1)+C$ より $y=2x-2+Ce^{-x}$。$y(0)=1$ から $C=3$。よって $y=2x-2+3e^{-x}$。代入すると $y'+y=(2-3e^{-x})+(2x-2+3e^{-x})=2x$。全実数上で有効です。

Q発展：区間に注意★★★

$xy'+2y=x^3, y(1)=0$ を解き、初期点を含む有効区間を答えてください。

HINTヒントを見る

$x\ne0$ で $y'+(\frac{2}{x})y=x^2$。

ANS解答を見る

初期点を含む $x>0$ で $\mu=x^2$。$(x^2y)'=x^4$ より $y=\frac{x^3}{5}+\frac{C}{x^2}$。$y(1)=0$ から $C=-\frac{1}{5}$。解は $y=\frac{x^5-1}{5x^2}$、有効区間は $(0,\infty)$。元の式への代入でも右辺 $x^3$ になります。

KEY要点のまとめ

• 標準形は $y'+p(x)y=q(x)$
• $\mu=e^{\int p dx}$ により左辺が $(\mu y)'$ になる
• 係数の特異点をまたがず、区間ごとに解く
• 非同次解の差は同次解になる

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