行列式とは

面積・体積の拡大率

行列式は正方行列に対して定義され、 $\det A$ または $|A|$ と書きます。このサイトでは絶対値との混同を避けるため主に $\det A$ を使います。

この規則で三角行列まで変形すれば、対角成分の積から行列式を求められます。上三角・下三角行列では

\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.

$\det A=0$ は、列ベクトルが一次従属で、面積・体積を低い次元へ押し潰すことを意味します。

発展的には、一般の $n\times n$ 行列式を置換の符号付き和で定義できます。ここでは幾何学的意味と計算法を優先します。

Q3×3行列式★☆☆

$A=\begin{pmatrix}2&0&1\\1&3&0\\0&2&1\end{pmatrix}$ の行列式を求めてください。

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第1行で余因子展開します。

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\det A=2\begin{vmatrix}3&0\\2&1\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}1&3\\0&2\end{vmatrix}=2\cdot3+2=8.

第1行第3列の符号は $(-1)^{1+3}=+1$ です。

Q行基本変形と面積★★☆

$B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ の第2行に第1行の $-3$ 倍を加え、その後2行を交換して得る行列の行列式を追跡してください。また元の列が作る平行四辺形の面積を求めてください。

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行の定数倍を加える操作では不変、交換では符号が反転します。

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$\det B=4-6=-2$ です。 $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ 後も $-2$ 、2行を交換すると $2$ です。元の平行四辺形の面積は絶対値 $|-2|=2$ です。

Qパラメータと可逆性★★★

A=\begin{pmatrix}1&a\\2&4\end{pmatrix}

が可逆でなくなる実数 $a$ を求め、そのとき列ベクトルが一次従属になることを確認してください。

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\det A

を計算し、0となる条件を求めます。

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$\det A=4-2a$ なので、可逆でないのは $a=2$ のときです。このとき

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}

で、第2列は第1列の2倍です。したがって列ベクトルは一次従属です。