直交性と直交補空間

直交とは

∵証明

$a_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+a_k\boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{0}$ とします。両辺と $\boldsymbol{v}_j$ の内積を取ると、交差する項は0なので

a_j\|\boldsymbol{v}_j\|^2=0.

$\boldsymbol{v}_j\ne\boldsymbol{0}$ より $a_j=0$ です。すべての $j$ について成り立つので一次独立です。

∵証明

零ベクトルは $W$ のすべてのベクトルと直交します。 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W^\perp$ 、 $a\in\mathbb R$ なら、任意の $\boldsymbol{w}\in W$ に対して

\langle\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{w}\rangle=0, \qquad \langle a\boldsymbol{x},\boldsymbol{w}\rangle=0.

よって加法とスカラー倍で閉じています。

行列 $A$ の行空間の直交補空間は $\ker A$ です。また列空間の直交補空間は $\ker A^{\mathsf T}$ です。これは連立方程式と直交性を結ぶ関係です。

Q直交判定★☆☆

(1,-1,2)^{\mathsf T}

と直交するように、

(2,1,a)^{\mathsf T}

の

a

を求めてください。

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内積を0と置きます。

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$2-1+2a=0$ より $a=-\frac{1}{2}$ です。

Q直交補空間を求める★★☆

$W=\operatorname{span}\{(1,1,0)^{\mathsf T},(0,1,1)^{\mathsf T}\}\subset\mathbb R^3$ の $W^\perp$ を求めてください。

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(x,y,z)

と2本それぞれの内積を0とします。

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$x+y=0$ 、 $y+z=0$ より $(x,y,z)=t(-1,1,-1)$ です。したがって

W^\perp=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)^{\mathsf T}\}.

$\dim W=2$ 、 $\dim W^\perp=1$ で次元公式とも一致します。

Q四次元空間の直交補空間★★★

U=\operatorname{span}\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}\subset\mathbb R^4

の直交補空間 $U^\perp$ の基底を求めてください。

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(a,b,c,d)

と二つの生成ベクトルとの内積をそれぞれ0と置きます。

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条件は $a+c=0$ 、 $b+d=0$ です。したがって

(a,b,c,d)=a(1,0,-1,0)+b(0,1,0,-1),

より、基底の一つは

\{(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)\}

です。