線積分とは

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約95分

線積分は曲線を細かな弧に分け、スカラー量または力の接線成分を曲線に沿って足します。

GOALこの記事で分かること

• 曲線の向きとパラメータ範囲を指定できる
• スカラー線積分とベクトル線積分を区別できる
• 弧長要素と仕事積分を計算できる
• 向きを逆にした効果を説明できる

PRE前提知識

ベクトル場と多変数連鎖律を使います。

曲線 $C$ を区分的に $C^1$ な写像 $\boldsymbol r:[a,b]\to\mathbb R^n$ で表します。$t$ の増加方向が曲線の向きです。同じ曲線を重複なく同じ向きでたどる滑らかなパラメータ交換なら積分値は変わりません。

ベクトル場の線積分では、曲線の向きに沿う成分だけを足し合わせます。向きを逆にすると符号が反転します。

二種類の線積分

DEF2種類の線積分

スカラー場 $f$ の弧長線積分とベクトル場 $F$ の線積分は $\int_Cf\,ds=\int_a^bf(\boldsymbol r(t))\|\boldsymbol r'(t)\|\,dt,$ $\int_CF\cdot d\boldsymbol r=\int_a^bF(\boldsymbol r(t))\cdot\boldsymbol r'(t)dt.$ 前者は向きを反転しても同じですが、後者は符号が反転します。後者は力場が粒子にする仕事です。

曲線上の積分と仕事の例

EX線分上のスカラー線積分

$(0,0)$ から $(1,1)$ への線分を $\boldsymbol r(t)=(t,t)$、$0\le t\le1$ とします。$f=x+y$ なら $ds=\sqrt2dt$ なので $\int_Cf\,ds=\int_0^12t\sqrt2\,dt=\sqrt2.$

EX円周上の仕事

$F=(-y,x)$、単位円を反時計回りに $\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t)$、$0\le t\le2\pi$ とします。$F(\boldsymbol r)=\boldsymbol r'$ なので $\oint_CF\cdot d\boldsymbol r=\int_0^{2\pi}1dt=2\pi.$ 時計回りなら $-2\pi$ です。

EX力場の仕事

$F=(y,x)$ に沿って $(0,0)$ から $(1,2)$ へ直線移動すると、$\boldsymbol r=(t,2t)$ から $F\cdot\boldsymbol r'=4t$。仕事は $\int_0^14t\,dt=2$ です。

向きとパラメータ範囲の注意

!よくある誤解

パラメータ範囲が曲線を2周すれば積分も2回分になります。スカラー弧長線積分の $\|\boldsymbol r'\|$ と、仕事積分の $\boldsymbol r'$ を混同しないでください。

練習問題

Q基本：弧長★☆☆

$\boldsymbol r(t)=(3t,4t)$、$0\le t\le1$ の長さを求めてください。

HINTヒントを見る

$f=1$ の線積分です。

ANS解答を見る

$\|\boldsymbol r'\|=5$ なので長さは5です。

Q標準：仕事★★☆

$F=(x,y)$ を線分 $(0,0)$ から $(1,1)$ に沿って積分してください。

HINTヒントを見る

$\boldsymbol r=(t,t)$。

ANS解答を見る

$F\cdot\boldsymbol r'=2t$ なので積分値は1です。

Q発展：半円★★★

上半円を $(1,0)$ から $(-1,0)$ へ進むとき $F=(-y,x)$ の仕事を求めてください。

HINTヒントを見る

$0\le t\le\pi$。

ANS解答を見る

$F(\cos t,\sin t)=(-\sin t,\cos t)=\boldsymbol r'$ なので仕事は $\pi$ です。

KEY要点のまとめ

• 曲線は向き付きパラメータで表す
• スカラー線積分では $ds=\|r'\|dt$
• ベクトル線積分は仕事 $\int F\cdot dr$
• 向き反転で仕事積分だけ符号が変わる

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