ラプラス変換による微分方程式

ラプラス変換と初期値

$\mathcal L\{y'\}=sY-y(0),\qquad \mathcal L\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0).$

単位ステップ $u_a(t)$ は $t<a$ で0、 $t\ge a$ で1。時間移動公式は $\mathcal L\{u_a(t)f(t-a)\}=e^{-as}F(s).$

積の代わりに畳み込み $(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau$ が現れ、 $\mathcal L\{f*g\}=FG$ 。デルタ関数は通常関数でないため発展事項です。

Q基本：導関数★☆☆

y'+2y=0,y(0)=3

を変換で解いてください。

HINTヒントを見る

(s+2)Y=3

。

ANS解答を見る

Y=\frac{3}{s+2}

、

y=3e^{-2t}

。

Q標準：部分分数★★☆

y''+3y'+2y=0,y(0)=0,y'(0)=1

。

HINTヒントを見る

Y=\frac{1}{(s+1)(s+2)}

。

ANS解答を見る

Y=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}

、

y=e^{-t}-e^{-2t}

。

Q発展：ステップ外力★★★

y'+y=u_2(t),y(0)=0

。

HINTヒントを見る

前の例で1を2へ。

ANS解答を見る

Y=\frac{e^{-2s}}{s(s+1)}

、

y=u_2(t)(1-e^{-(t-2)})

。