ヘッセ行列と二階偏微分

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約85分

ヘッセ行列は二階偏導関数を並べた行列で、入力方向ごとの曲がり方を二次形式として表します。

GOALこの記事で分かること

• 二階・混合偏導関数を計算できる
• ヘッセ行列と二次形式を対応させられる
• 正定値・負定値・不定値を判別できる
• 方向に沿う二階変化を求められる

PRE前提知識

偏微分、方向微分と勾配、対称行列を使います。

ヘッセ行列と二階変化

IDEA曲がり方を全方向についてまとめる

一階微分が傾きを表すのに対し、二階微分は傾きの変化を表します。多変数では方向ごとに曲がり方が違うため、行列にまとめます。

DEFヘッセ行列

$f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ の二階偏導関数が存在するとき $H_f(\boldsymbol a)=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(\boldsymbol a)\right)_{i,j=1}^n$ をヘッセ行列と呼びます。$f$ が $C^2$、つまり二階偏導関数が近傍で連続ならクレローの定理により $H_f$ は対称です。

THM方向に沿った二階変化

$f$ が $C^2$ で、$g(t)=f(\boldsymbol a+t\boldsymbol u)$ とすると $g''(0)=\boldsymbol u^T H_f(\boldsymbol a)\boldsymbol u.$ 右辺をヘッセ行列の二次形式と呼びます。

DEF符号による分類

対称行列 $H$ について、すべての $\boldsymbol v\ne0$ で $\boldsymbol v^TH\boldsymbol v\gt0$ なら正定値、常に負なら負定値、正にも負にもなるなら不定値です。固有値がすべて正、すべて負、正負を含む場合にそれぞれ対応します。

符号判定の計算例

EX二変数の完全な計算

$f(x,y)=x^2+2xy+3y^2$ なら $H_f=\begin{pmatrix}2&2\\2&6\end{pmatrix},\qquad (s,t)H_f\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}=2s^2+4st+6t^2=2(s+t)^2+4t^2.$ 非零ベクトルでは正なので正定値です。単位方向 $\boldsymbol u=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ の二階変化は $\boldsymbol u^TH_f\boldsymbol u=6$ です。

EX不定値の例

$f(x,y)=x^2-y^2$ のヘッセ行列は $\operatorname{diag}(2,-2)$。$x$ 方向では上向き、$y$ 方向では下向きに曲がるので不定値です。

二階判定に関する注意

!よくある誤解

混合偏導関数が存在するだけで $f_{xy}=f_{yx}$ としてはいけません。また、半正定値は正定値と異なり、二階情報だけでは極値を判定できないことがあります。

練習問題

Q基本★☆☆

$f=x^2+xy+y^2$ のヘッセ行列を求めてください。

HINTヒントを見る

二階偏導関数を並べます。

ANS解答を見る

$H_f=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$。固有値は1と3なので正定値です。

Q標準★★☆

$f=x^2+4xy+y^2$ のヘッセ行列を分類してください。

HINTヒントを見る

行列式を調べます。

ANS解答を見る

$H=\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}$、行列式は $-12\lt0$。固有値の符号が異なるので不定値です。

Q発展★★★

$f=e^{x+y}$ の原点で、単位方向 $(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ の二階変化を求めてください。

HINTヒントを見る

原点のヘッセ行列は全成分が1です。

ANS解答を見る

$H=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ なので $\boldsymbol u^TH\boldsymbol u=(\frac{3}{5}+\frac{4}{5})^2=\frac{49}{25}$ です。

KEY要点のまとめ

• ヘッセ行列は二階偏導関数をまとめる
• $C^2$ なら対称になる
• 二次形式は方向に沿う二階変化
• 正定値・負定値・不定値は曲がり方を分類する

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