極座標による二重積分

本サイトでは $r\ge0$ 、角度 $\theta$ は正の $x$ 軸から反時計回りに測ります。同じ領域をちょうど一度覆う角度区間を選びます。

極座標と面積要素

扇形 $\alpha\le\theta\le\beta,0\le r\le R$ の面積は $\int_\alpha^\beta\int_0^Rr\,dr\,d\theta=(\beta-\alpha)\frac{R^2}{2}$ 。対称な領域で奇関数を積分すれば0になることもあります。

Q基本：円盤の面積★☆☆

半径3の円盤の面積を極座標で求めてください。

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0\le r\le3,0\le\theta\le2\pi

。

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\int_0^{2\pi}\int_0^3r\,dr\,d\theta=9\pi

です。

Q標準：円環★★☆

1\le r\le3

の円環上で1を積分してください。

HINTヒントを見る

円環の面積です。

ANS解答を見る

\int_0^{2\pi}\int_1^3r\,dr\,d\theta=8\pi

です。

Q発展：対称性★★★

単位円盤上で

x^2

を積分してください。

HINTヒントを見る

x^2=r^2\cos^2\theta

、

\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta=\pi

。

ANS解答を見る

\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3\cos^2\theta\,dr\,d\theta=(\frac{1}{4})\pi=\frac{\pi}{4}

です。