ベクトル場・発散・回転

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約95分

ベクトル場は各点に矢印を割り当て、発散は湧き出し、回転は局所的な回りやすさを微分で測ります。

GOALこの記事で分かること

• スカラー場とベクトル場を区別できる
• 勾配・発散・回転を座標計算できる
• 二次元curlの流儀を説明できる
• 微分恒等式の滑らかさの仮定を確認できる

PRE前提知識

勾配、偏微分、三重積分を使います。

$f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ はスカラー場、$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ はベクトル場です。流体の速度場や力場では、各点の矢印が速度や力の向きと大きさを表します。$\nabla$ は微分演算子をまとめた記号で、通常の定数ベクトルと無条件に同一視しません。

発散は局所的な湧き出しを、回転は局所的な回り込みを測ります。矢印の向きで二つを比較できます。

ベクトル場の勾配・発散・回転

DEF勾配・発散・回転

$f:\mathbb R^3\to\mathbb R$、$F=(P,Q,R):\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ に対して $\nabla f=(f_x,f_y,f_z),\qquad \operatorname{div}F=\nabla\cdot F=P_x+Q_y+R_z,$ $\operatorname{curl}F=\nabla\times F=(R_y-Q_z, P_z-R_x, Q_x-P_y).$ 発散は微小領域からの正味流出、回転は微小羽根車の回転軸という直感を持ちますが、定義は上の偏導関数です。

二次元 $F=(P,Q)$ では本サイトは $\operatorname{curl}F=Q_x-P_y$ を平面に垂直な成分としてスカラー表示します。三次元場 $(P,Q,0)$ のcurlの第3成分と同じです。

座標表示による計算例

EX三次元の計算

$F=(-y,x,z)$ なら $\operatorname{div}F=1$、$\operatorname{curl}F=(0,0,2)$。平面内で反時計回りに回りながら、$z$ 方向には外へ広がる場です。

DEFラプラシアン

$\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f)=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$ をラプラシアンと呼び、熱方程式やポテンシャル論に現れます。

THM基本恒等式

$f$ が $C^2$ なら $\operatorname{curl}(\nabla f)=0$。$F$ の二階偏導関数が連続なら $\operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0$ です。混合偏導関数の交換が根拠なので滑らかさが必要です。

局所条件と大域条件の注意

!よくある誤解

矢印図は直感を助けますが、発散や回転の符号・成分は定義から計算します。curlが0という局所条件だけで、穴のある領域でも必ずポテンシャルが存在するとは限りません。

練習問題

Q基本：発散★☆☆

$F=(x^2,xy,z^2)$ の発散を求めてください。

HINTヒントを見る

$P_x+Q_y+R_z$。

ANS解答を見る

$2x+x+2z=3x+2z$ です。

Q標準：回転★★☆

$F=(yz,zx,xy)$ の回転を求めてください。

HINTヒントを見る

各成分を定義に代入します。

ANS解答を見る

$(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)=(x-x,y-y,z-z)=(0,0,0)$ です。

Q発展：恒等式★★★

$f=x^2y+yz^2$ で $\operatorname{curl}(\nabla f)=0$ を確認してください。

HINTヒントを見る

$\nabla f=(2xy,x^2+z^2,2yz)$。

ANS解答を見る

第1成分 $2z-2z$、第2成分 $0-0$、第3成分 $2x-2x$ で、すべて0です。

KEY要点のまとめ

• 勾配はスカラー場からベクトル場を作る
• 発散は正味流出、回転は局所回転を測る
• 二次元curlは本サイトでは $Q_x-P_y$
• 恒等式には二階偏導関数の連続性が必要

NEXT次に読む記事

• 前の記事：三重積分と円柱・球座標
• 次の記事：線積分とは