関数の増減・極値・凹凸

∵証明

$x_1<x_2$ を任意に取ります。平均値の定理から $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$ となる $c$ が存在します。 $x_2-x_1>0$ なので、 $f'$ の符号が関数値の差の符号を決めます。

∵証明

局所最大の場合、十分小さい $h>0$ では右差商は0以下、 $h<0$ では左差商は0以上です。両側の極限が同じ値として存在するなら0です。局所最小も不等号を逆にして同様です。

逆は成り立ちません。 $f(x)=x^3$ は $f'(0)=0$ ですが、0の両側で増加し続けるため極値ではありません。

EX三次関数の完全な解析

$f(x)=x^3-3x$ では $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ 。符号は

$x$	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,1)$	$1$	$(1,\infty)$
$f'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	増加	局所最大 $2$	減少	局所最小 $-2$	増加

$f''(x)=6x$ は0で符号を変えるので $(0,0)$ は変曲点です。

二次導関数と凹凸

このサイトでは $f''>0$ を下に凸（カップ型）、 $f''<0$ を上に凸（山型）と呼びます。書籍によって「凸」の用語が逆に見える場合があるため、常に $f''$ の符号も併記します。凹凸が切り替わる点が変曲点です。

停留点 $a$ で $f''(a)>0$ なら局所最小、 $f''(a)<0$ なら局所最大です。 $f''(a)=0$ では判定できません。 $x^4$ は0で局所最小ですが、 $x^3$ は0で極値でありません。また $f''(a)=0$ だけでは変曲点とも断定できず、 $x^4$ が反例です。

分母・対数・平方根を含む場合は最初に定義域を決めます。たとえば $\log x$ は $x>0$ 、 $\frac{1}{x-1}$ は $x\ne1$ です。最適化では、量を関数にし、定義域を決め、臨界点と端点を比較します。

練習問題

Q増減と極値★☆☆

$f(x)=x^2-4x$ の増減と極値を求めてください。

HINTヒントを見る

f'=2x-4

。

ANS解答を見る

x<2

で減少、

x>2

で増加。

x=2

で局所かつ全体の最小値

-4

を取ります。

Q閉区間の最大最小★★☆

$f(x)=x^3-3x$ の $[-2,2]$ での最大値・最小値を求めてください。

HINTヒントを見る

臨界点

\pm1

と端点

\pm2

を比較します。

ANS解答を見る

f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2

。最大値2を

x=-1,2

、最小値

-2

を

x=-2,1

で取ります。

Q十分条件を検討★★★

$f''(a)=0$ なら $a$ は変曲点、という主張を検討してください。

HINTヒントを見る

x^4

を調べます。

ANS解答を見る

偽です。

f(x)=x^4

では

f''(0)=0

ですが

f''(x)=12x^2\ge0

は0の両側で符号を変えず、0は変曲点ではありません。