全微分・接平面・線形近似

全微分可能性とヤコビ行列

この定義は一変数の $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(|h|)$ と同じです。 $df$ は線形部分を表す記号であり、 $dz=f_xdx+f_ydy$ と書けることを先に仮定して微分可能性を説明するのではありません。

Q基本：ヤコビ行列★☆☆

F(x,y)=(x+y,x^2-y)

のヤコビ行列を求めてください。

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出力成分を行、入力変数を列に並べます。

ANS解答を見る

J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\2x&-1\end{pmatrix}.

\mathbb R^2\to\mathbb R^2

なので

2\times2

です。

Q標準：接平面★★☆

f(x,y)=e^{x+y}

の

(0,0,1)

における接平面を求めてください。

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f_x=f_y=e^{x+y}

です。

ANS解答を見る

f(0,0)=1

、両偏微分は1。したがって

z=1+x+y

です。

Q発展：数値近似★★★

接平面を使い

\sqrt{4.02^2+2.99^2}

を近似してください。

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f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

を

(4,3)

で線形化します。

ANS解答を見る

f(4,3)=5

、

f_x=\frac{4}{5},f_y=\frac{3}{5}

。変化は

(0.02,-0.01)

なので

5+(\frac{4}{5})0.02+(\frac{3}{5})(-0.01)=5.01

です。