行列の階数とは

なぜ階数を数えるのか

行列に多くの行や列があっても、その一部がほかの線形結合なら新しい情報を増やしません。階数は、重複を取り除いたときに残る方向の数です。

列空間と行空間

行列 $A$ が表す写像 $T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$ の像は列空間なので、 $\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{Im}T$ です。

掃き出し法で求める

零行列にはピボットがないので階数は0です。一般に

0\le\operatorname{rank}A\le\min(m,n).

核・逆行列との関係

$n\times n$ 正方行列では、次は同値です。

$\operatorname{rank}A=n$
$\ker A=\{\boldsymbol{0}\}$
$A$ は逆行列をもつ

連立方程式への導線

$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ が解をもつのは、 $\boldsymbol{b}$ が $A$ の列空間に入るときです。拡大係数行列を使えば

\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\mid\boldsymbol{b})

が解の存在条件になります。右辺を加えたことで新しいピボットが生じれば矛盾です。

練習問題

Q階数を求める★☆☆

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\1&3&4\end{pmatrix}$ の階数を求めてください。

HINTヒントを見る

R_3\leftarrow R_3-R_1

とすると第3行を第2行と比較できます。

ANS解答を見る

A\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}.

ピボットは2個なので $\operatorname{rank}A=2$ です。

Q核と方程式を判定する★★☆

上の $A$ について nullity を求め、 $A\boldsymbol{x}=(1,0,0)^{\mathsf T}$ が解をもつか判定してください。

HINTヒントを見る

nullityには次元定理を使います。拡大係数行列の第3行を確認します。

ANS解答を見る

定義域は $\mathbb{R}^3$ なので nullityは $3-2=1$ です。拡大係数行列に同じ行基本変形をすると最後の行が

\begin{pmatrix}0&0&0\mid-1\end{pmatrix}

となり矛盾します。よって解はありません。これは右辺が列空間に入っていないことを意味します。

Q階数から解空間を読む★★★

$A$ を $3\times4$ 行列とし、 $\operatorname{rank}A=2$ とします。 $A\boldsymbol{x}=0$ の解空間の次元を求めてください。また $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ が任意の $\boldsymbol{b}\in\mathbb R^3$ に対して解を持つか判定してください。

HINTヒントを見る

定義域は

\mathbb R^4

、像は

\mathbb R^3

の2次元部分空間です。

ANS解答を見る

階数・退化次数定理から核の次元は $4-2=2$ です。また像の次元は2で、3次元の終域 $\mathbb R^3$ 全体にはなりません。したがって像に入らない $\boldsymbol{b}$ があり、任意の右辺に対して解を持つわけではありません。