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大学数学の道しるべ

多変数関数の極値判定

臨界点と二階判定

Section titled “臨界点と二階判定”

二変数で D=fxxfyy−fxy2D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 とすると、D>0,fxx>0D\gt0,f_{xx}\gt0 なら最小、D>0,fxx<0D\gt0,f_{xx}\lt0 なら最大、D<0D\lt0 なら鞍点です。D=0D=0 は判定不能です。

臨界点を分類する例

Section titled “臨界点を分類する例”

判定不能と境界の注意

Section titled “判定不能と境界の注意”

練習問題

Section titled “練習問題”
Q基本★☆☆
f=x2+4y2f=x^2+4y^2 の臨界点を分類してください。
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ヘッセ行列は対角行列です。
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臨界点は原点のみ。H=diag⁡(2,8)H=\operatorname{diag}(2,8) は正定値なので狭義局所最小です。
Q標準★★☆
f=x2−y2+2xf=x^2-y^2+2x の臨界点を分類してください。
HINTヒントを見る
勾配を0にします。
ANS解答を見る
2x+2=0,−2y=02x+2=0,-2y=0 より (−1,0)(-1,0)。H=diag⁡(2,−2)H=\operatorname{diag}(2,-2) は不定値なので鞍点です。
Q発展★★★
円盤 x2+y2≤1x^2+y^2\le1 上で f=xf=x の最大・最小を求めてください。
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内部に臨界点はありません。境界を調べます。
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境界上で −1≤x≤1-1\le x\le1。最大1は (1,0)(1,0)、最小 −1-1 は (−1,0)(-1,0) です。