曲面のパラメータ表示・曲面積・流束

曲面上の二本の接ベクトルと、その外積で定まる法線ベクトル — 二本の接ベクトルの外積は曲面の向き付き法線を与え、その大きさが面積要素になります。

パラメータ曲面と面積要素

DEFパラメータ曲面と面積要素

$\boldsymbol r:D\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ を $C^1$ とします。 $\boldsymbol r_u,\boldsymbol r_v$ が接ベクトルで、 $\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\ne0$ なら正則です。 $dS=\|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\|\,du\,dv.$ スカラー場は $\iint_Sf\,dS$ 、向き付き単位法線 $\boldsymbol n$ に対する流束は $\iint_SF\cdot\boldsymbol n\,dS=\iint_DF(\boldsymbol r(u,v))\cdot(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\,du\,dv$ です。外積の順序を逆にすると法線と流束の符号が反転します。

曲面積と流束の計算例

円柱側面は $\boldsymbol r(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z)$ で表し、 $0\le\theta\lt2\pi,0\le z\le h$ なら面積は $2\pi Rh$ です。閉曲面では通常、外向き法線を選びます。

向きと重複に関する注意

練習問題

Q基本：平面★☆☆

\boldsymbol r(u,v)=(u,v,2u+3v)

の面積要素を求めてください。

HINTヒントを見る

r_u=(1,0,2),r_v=(0,1,3)

。

ANS解答を見る

r_u\times r_v=(-2,-3,1)

、大きさは

\sqrt{14}

。したがって

dS=\sqrt{14}\,du\,dv

です。

Q標準：円柱側面★★☆

半径2、高さ3の円柱側面積を求めてください。

HINTヒントを見る

2\pi Rh

。

ANS解答を見る

2\pi\cdot2\cdot3=12\pi

です。

Q発展：球面流束★★★

半径

R

の球面を外向きに取り、

F=(x,y,z)

の流束を求めてください。

HINTヒントを見る

球面で

F=R\boldsymbol n

。

ANS解答を見る

F\cdot n=R

なので、流束は

R\cdot4\pi R^2=4\pi R^3

です。