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大学数学の道しるべ

逆行列とは

なぜ逆行列が必要なのか

Section titled “なぜ逆行列が必要なのか”

3x=63x=6 なら両辺に 13\frac{1}{3} を掛けて x=2x=2 とします。同様に Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} から x\boldsymbol{x} を取り出す「逆向きの操作」が逆行列です。ただし行列は変換の途中で方向を押し潰すことがあり、その場合は元へ戻せません。

正確な定義

Section titled “正確な定義”

有限次元の同じ大きさの正方行列では AB=IAB=I または BA=IBA=I の片方だけを示しても、もう片方が従います。長方形行列や一般の無限次元線形写像へ、この判定をそのまま広げてはいけません。

2×2行列の公式

Section titled “2×2行列の公式”

掃き出し法で求める

Section titled “掃き出し法で求める”

連立一次方程式との関係

Section titled “連立一次方程式との関係”

AA が正則なら

Ax=b⟹x=A−1bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}

で、任意の b\boldsymbol{b} に対して解は一意です。ただし数値計算では、逆行列を明示的に作ってから掛けるより、掃き出し法などで Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} を直接解く方が計算量や誤差の面で有利なことがあります。

練習問題

Section titled “練習問題”
Q2×2公式で求める★☆☆

A=(3121)A=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix} の逆行列を求め、積で確認してください。

HINTヒントを見る
ad−bc=3⋅1−1⋅2ad-bc=3\cdot1-1\cdot2 を計算します。
ANS解答を見る

ad−bc=1ad-bc=1 なので

A−1=(1−1−23).A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}.AA−1=(3−2−3+32−2−2+3)=I2AA^{-1}=\begin{pmatrix}3-2&-3+3\\2-2&-2+3\end{pmatrix}=I_2

で、逆順の積も I2I_2 になります。

Q存在しない理由と方程式★★☆

B=(1224)B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} に逆行列がないことを示し、Bx=(1,0)TB\boldsymbol{x}=(1,0)^{\mathsf T} の解を調べてください。

HINTヒントを見る
2行目が1行目の2倍であることと、右辺の対応を見ます。
ANS解答を見る

det⁡B=4−4=0\det B=4-4=0 で、行も列も一次従属なので逆行列はありません。方程式は

x+2y=1,2x+4y=0x+2y=1,\qquad 2x+4y=0

となり、第1式の2倍と第2式が矛盾します。したがって解はありません。情報を一方向へ潰すため、任意の右辺を元へ戻せません。

Q積の逆行列の順序★★★

可逆な正方行列 A,BA,B に対して

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

であることを、左右から掛けて確認してください。

HINTヒントを見る
ABAB と B−1A−1B^{-1}A^{-1} をこの順序で掛け、結合法則を使います。
ANS解答を見る
(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AA−1=I,(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I,

また

(B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1B=I.(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}B=I.

したがって B−1A−1B^{-1}A^{-1} は ABAB の逆行列です。順序が逆になる点が重要です。