振動・減衰・強制振動・共振

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：発展学習時間：約135分

質量ばね系は $my''+cy'+ky=F(t)$ で表されます。特性根が自由振動と減衰を、周期外力の特殊解が定常応答と共振を決めます。

GOALこの記事で分かること

• 減衰を判別式で分類する
• 自由応答を過渡応答として読む
• 周期外力の定常応答と無減衰共振を計算する

PRE前提知識

定数係数二階同次方程式と未定係数法を使います。

減衰があると振幅は時間とともに小さくなります。破線は振幅を包む指数関数を示します。

質量・ばねモデル

変位 $y(t)$ を平衡位置から測ります。フックの法則の復元力は $-ky$、速度比例の減衰力は $-cy'$。ニュートンの法則から $my''+cy'+ky=F(t),\qquad m>0, c\ge0, k>0.$ $m$ は質量、$c$ は減衰係数、$k$ はばね定数、$F$ は外力です。各項の単位は力で一致します。

自由振動と減衰分類

$F=0,c=0$ なら固有角振動数 $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ で $y=A\cos\omega_0t+B\sin\omega_0t=R\cos(\omega_0t-\phi).$ $R$ が振幅、$\phi$ が位相です。通常の周波数は $f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$。エネルギー $E=\frac{my'^2}{2}+\frac{ky^2}{2}$ は無減衰なら一定です。

DEF減衰の3分類

特性方程式 $mr^2+cr+k=0$ の判別式 $\Delta=c^2-4mk$ により分類します。

条件	名称	解の形・挙動
$\Delta>0$	過減衰	負の異なる実根、振動せず戻る
$\Delta=0$	臨界減衰	重根、振動せず最速境界的に戻る
$\Delta<0$	不足減衰	$e^{-\frac{ct}{2m}}$ の包絡で振動

EX不足減衰の初期値問題

$y''+2y'+5y=0, y(0)=1,y'(0)=0$。根は $-1\pm2i$ なので $y=e^{-t}(C_1\cos2t+C_2\sin2t)$。初期条件から $C_1=1,-C_1+2C_2=0$、$C_2=\frac{1}{2}$。よって $y=e^{-t}(\cos2t+\frac12\sin2t)$。

強制振動

周期外力 $F_0\cos\omega t$ に対し、解は同次解（過渡応答）と特殊解（定常応答）の和です。$c>0$ の非共鳴定常振幅は $A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}.$ 減衰がある場合、振幅最大の角振動数は一般に $\omega_0$ と一致せず、十分強い減衰では明瞭なピークがない場合もあります。

EX非共鳴の周期外力

$y''+y=2\cos2t$。$y_p=A\cos2t+B\sin2t$ と置くと $-3A=2,-3B=0$。したがって $y=C_1\cos t+C_2\sin t-\frac23\cos2t$。

EX無減衰共振

$y''+y=\cos t$ では外力角振動数1が固有角振動数1と一致します。共鳴修正により $y_p=\frac{t}{2}\sin t.$ 振幅包絡が時間に比例して増大します。これは外力が毎周期、位相を合わせてエネルギーを供給するためです。

!よくある誤解

「外力周波数＝固有周波数」だけで全ての共振を説明できるのは無減衰理想系です。減衰系では周波数応答の最大点を調べ、過渡解と定常解を区別します。

練習問題

Q基本：無減衰自由振動★☆☆

$2y''+8y=0, y(0)=3,y'(0)=0$ を解いてください。

HINTヒントを見る

$\omega_0=2$。

ANS解答を見る

$y=3\cos2t$。代入すると $2(-12\cos2t)+8(3\cos2t)=0$。

Q標準：減衰分類★★☆

$y''+6y'+8y=0$ を分類し一般解を求めてください。

HINTヒントを見る

$\Delta=36-32$。

ANS解答を見る

$\Delta>0$ なので過減衰。根は $-2,-4$、$y=C_1e^{-2t}+C_2e^{-4t}$。

Q発展：共振初期値問題★★★

$y''+4y=\cos2t, y(0)=0,y'(0)=0$ を解いてください。

HINTヒントを見る

$y_p=(\frac{t}{4})\sin2t$。

ANS解答を見る

$y_h=C_1\cos2t+C_2\sin2t$。初期条件から $C_1=C_2=0$。よって $y=(\frac{t}{4})\sin2t$。二階微分との和 $4y$ を計算すると $\cos2t$。

KEY要点のまとめ

• $c^2-4mk$ が減衰分類を決める
• 解は過渡応答と定常応答に分けて読む
• 無減衰共振では特殊解の振幅が時間とともに増大する

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