正項級数の収束判定

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約85分

正項級数は、既知の級数との大きさの比較や、隣り合う項・n乗根の極限によって収束を判定できます。

GOALこの記事で分かること

• 5つの判定法の仮定と結論を言える
• p級数を比較の基準にできる
• 級数に合う判定法を選べる
• 極限が1のとき結論できないと判断できる

PRE前提知識

無限級数と広義積分を使います。

正項級数の収束判定法

IDEA基準となる級数と比べる

非負の項には打ち消しがありません。各項が収束する級数より小さければ総和も抑えられ、発散する級数より大きければ部分和も増え続けます。

THM比較判定法と極限比較判定法

十分大きい $n$ で $0\le a_n\le b_n$ とします。$\sum b_n$ が収束すれば $\sum a_n$ も収束し、$\sum a_n$ が発散すれば $\sum b_n$ も発散します。

$a_n,b_n>0$ で $\frac{a_n}{b_n}\to L$、$0<L<\infty$ なら、$\sum a_n$ と $\sum b_n$ は同時に収束または発散します。

THM比の判定法と根の判定法

$a_n>0$ とします。$\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L$ または $\sqrt[n]{a_n}\to L$ のとき、$L<1$ なら収束、$L>1$ なら一般項が0にならず発散します。$L=1$ ではどちらの判定法も結論できません。

THM積分判定法とp級数

$f:[1,\infty)\to(0,\infty)$ が連続で単調減少し、$a_n=f(n)$ なら、$\sum a_n$ と $\int_1^\infty f(x)dx$ は同時に収束または発散します。したがって $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p}\text{ は }p>1\text{ のとき、かつそのときに限り収束します。}$

判定法を選ぶ例

EX同じ級数を複数の方法で見る

$\sum\frac{1}{n^2+1}$ は $0<\frac{1}{n^2+1}\le\frac{1}{n^2}$ なので比較判定で収束します。また $\frac{\frac{1}{n^2+1}}{\frac{1}{n^2}}\to1$ なので極限比較でも収束します。一方、比とn乗根の極限はともに1で、それらだけでは判定できません。

EX階乗には比の判定

$a_n=\frac{n!}{n^n}$ なら $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac n{n+1}\right)^n\to e^{-1}<1,$ よって $\sum \frac{n!}{n^n}$ は収束します。

判定不能な場合の注意

!よくある誤解

比や根の極限が1なら「発散」ではなく「この方法では不明」です。$\sum\frac{1}{n}$ は発散し、$\sum\frac{1}{n^2}$ は収束しますが、どちらも比と根の極限は1です。

練習問題

Q基本：p級数★☆☆

$\sum\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ を判定してください。

HINTヒントを見る

$p=\frac{3}{2}$ です。

ANS解答を見る

$p>1$ なので収束します。

Q標準：極限比較★★☆

$\sum \frac{2n+1}{n^3+4}$ を判定してください。

HINTヒントを見る

$\frac{1}{n^2}$ と比べます。

ANS解答を見る

項は正で、$\frac{\frac{2n+1}{n^3+4}}{\frac{1}{n^2}}\to2$。$\sum\frac{1}{n^2}$ が収束するので極限比較により収束します。

Q発展：方法の選択★★★

$\sum \frac{n}{2^n}$ を比の判定と根の判定で調べてください。

HINTヒントを見る

両方の極限は $\frac{1}{2}$ になります。

ANS解答を見る

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{n+1}{n}}{2}\to\frac{1}{2}$。また $\sqrt[n]{\frac{n}{2^n}}=\frac{n^{\frac{1}{n}}}{2}\to\frac{1}{2}$。どちらでも $L<1$ なので収束します。

KEY要点のまとめ

• 比較では不等号の向きと基準級数を確認する
• 極限比較では極限が正の有限値であることが必要
• 比・根の判定で $L=1$ は判定不能
• 積分判定には正・連続・単調減少という仮定がある

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