集合とは

集合と要素

集合の書き方には、要素を列挙する外延的記法 $A=\{1,2,3\}$ と、条件で指定する内包的記法 $E=\{2n\mid n\in\mathbb Z\}$ があります。後者は「整数 $n$ を使って $2n$ と書ける数全体」、つまり偶数全体です。

有限個の要素を持つ集合を有限集合、そうでない集合を無限集合といいます。要素を一つも持たない集合は空集合で、 $\varnothing$ と書きます。考えている対象すべてを含む集合を全体集合といいます。

部分集合

どの集合 $A$ に対しても $\varnothing\subseteq A,\qquad A\subseteq A$ です。空集合には反例となる要素がなく、集合自身の要素は当然すべて自身に属するからです。

数の集合と区間

このサイトでは

\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\},\quad \mathbb Z=\{\ldots,-1,0,1,\ldots\},

を使います。 $\mathbb Q$ は有理数全体、 $\mathbb R$ は実数全体です。自然数に0を含めない流儀もあるため、他の文献では定義を確認してください。

実数の区間は、端を含むとき角括弧、含まないとき丸括弧で表します。

[a,b]=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le b\}, \qquad (a,b)=\{x\in\mathbb R\mid a<x<b\}.

$[a,b)$ のように片側だけ含むこともあります。

練習問題

Q記号を判定する★☆☆

$A=\{1,2,\{3\}\}$ について、 $3\in A$ 、 $\{3\}\in A$ 、 $\{1,2\}\subseteq A$ の真偽を答えてください。

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数3と、3だけを要素に持つ集合は別の対象です。

ANS解答を見る

$3\in A$ は偽、 $\{3\}\in A$ は真です。1と2はどちらも $A$ の要素なので $\{1,2\}\subseteq A$ は真です。

Qべき集合★★☆

$B=\{0,1,2\}$ のべき集合をすべて書き、要素数を確認してください。

HINTヒントを見る

要素数0、1、2、3の部分集合に分けます。

ANS解答を見る

\mathcal P(B)=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{2\}, \{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\}.

全部で $8=2^3$ 個です。

Q包含関係を等式で特徴づける★★★

集合 $A,B$ について、 $A\subseteq B$ と $A\cap B=A$ が同値であることを、要素を使って示してください。

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それぞれの向きで、

x\in A

または

x\in A\cap B

から何が言えるかを調べます。

ANS解答を見る

$A\subseteq B$ なら、 $x\in A$ は $x\in B$ も満たすので $x\in A\cap B$ です。逆の包含 $A\cap B\subseteq A$ は定義から成り立つため、 $A\cap B=A$ です。逆に $A\cap B=A$ なら、 $x\in A$ に対して $x\in A\cap B$ なので $x\in B$ です。よって $A\subseteq B$ です。