基本的な微分公式

定義から導く

定数関数 $f(x)=C$ では差の商が常に0なので $f'(x)=0$ です。一次関数 $mx+b$ では差の商が $m$ なので導関数も $m$ です。

正の整数 $n$ に対して二項展開を使うと

\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\binom n2x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}.

$h\to0$ で残るのは最初の項だけなので $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}.$ 負の整数指数は商の微分から同じ式を得ます。 $x^{\frac{p}{q}}$ は実数上での定義域に注意が必要で、たとえば $\sqrt{x}$ の公式 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ は $x>0$ で使います。

自然指数関数では

\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\frac{e^h-1}{h}\to e^x

なので $(e^x)'=e^x$ です。一般に $a>0$ なら $(a^x)'=a^x\log a$ 。逆関数の関係から $(\log x)'=\frac{1}{x}$ は $x>0$ で成り立ちます。

ラジアンで測ると $\lim_{h\to0}\sin \frac{h}{h}=1$ です。加法定理より

\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\to\cos x.

したがって $(\sin x)'=\cos x$ 。同様に $(\cos x)'=-\sin x$ 、 $\tan x$ は $\cos x\ne0$ で $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$ です。

微分公式表

関数	導関数	実数上の主な定義域
$C$	$0$	$\mathbb R$
$x^n$ （整数 $n\ge1$ ）	$nx^{n-1}$	$\mathbb R$
$x^{-n}$	$-nx^{-n-1}$	$x\ne0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb R$
$a^x$ （ $a>0$ ）	$a^x\log a$	$\mathbb R$
$\log x$	$\frac{1}{x}$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb R$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\cos x\ne0$

定数 $c$ について $(cf)'=cf'$ 、 $(f\pm g)'=f'\pm g'$ です。

逆三角関数にも微分公式があります。たとえば $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ ですが、逆関数の微分を学んだ後に扱うと見通しがよくなります。

練習問題

Q多項式★☆☆

$f(x)=4x^5-3x^2+7$ を微分してください。

HINTヒントを見る

各項を別々に微分します。

ANS解答を見る

べき公式と和の公式から

f'(x)=20x^4-6x

です。

Q指数・三角関数★★☆

$g(x)=2^x+3\cos x-\log x$ の導関数と定義域を求めてください。

HINTヒントを見る

2^x

では

\log2

が現れます。

ANS解答を見る

定義域は

x>0

。

g'(x)=2^x\log2-3\sin x-\frac{1}{x}

です。

Q平方根の端点★★★

$f(x)=\sqrt{x}$ は $x=0$ で微分可能ですか。

HINTヒントを見る

右側の差の商を直接調べます。

ANS解答を見る

\frac{\sqrt h-0}{h}=\frac{1}{\sqrt h}

は

h\downarrow0

で有限値へ収束しません。定義域の端点で右微分を考えても有限ではなく、通常の意味で0では微分可能でありません。