べき級数

テイラー展開との関係

十分な条件のもとで関数 $f$ が中心 $c$ の近くで自身のテイラー級数に等しいとき、 $a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}$ です。ただ微分係数を形式的に並べただけでは、級数が $f$ に収束する保証はありません。テイラーの定理の剰余項が0へ向かうことが必要です。

Q基本：収束半径★☆☆

\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{3^n}

の中心と収束半径を求めてください。

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公比は

\frac{x-2}{3}

です。

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中心は

2

。

|\frac{x-2}{3}|<1

より収束半径は

R=3

です。端点

x=-1,5

では項が0へ向かわず発散します。

Q標準：端点判定★★☆

\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{n^2}

の収束区間を求めてください。

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半径は1で、両端ではp級数を見ます。

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|x-1|<1

で絶対収束します。

x=2

では

\sum\frac{1}{n^2}

、

x=0

では

\sum\frac{(-1)^n}{n^2}

となり、どちらも絶対収束します。収束区間は

[0,2]

です。

Q発展：項別微分★★★

|x|<1

で

\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}

の和を求めてください。

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幾何級数を微分します。

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\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n

を収束半径内で微分し、

\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}

を得ます。