核と像

なぜ核と像を調べるのか

線形写像が入力をどう変えるかを一つずつ追う代わりに、「どの方向が消えるか」と「出力側のどこまで届くか」を調べます。核と像が分かると、単射・全射、方程式の解、変換が失う情報をまとめて理解できます。

核と像の定義

∵証明

$T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$ なので核は零ベクトルを含みます。 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\ker T$ 、 $a\in\mathbb{R}$ なら

T(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=T(\boldsymbol{u})+T(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0},\qquad T(a\boldsymbol{u})=aT(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{0}

なので核は加法とスカラー倍で閉じています。

像の二つのベクトルを $T(\boldsymbol{u}),T(\boldsymbol{v})$ と書けば、その和は $T(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})$ 、実数倍は $T(a\boldsymbol{u})$ です。どちらも再び像に入ります。

行列から核を求める

線形写像 $T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$ の核は

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

を満たす $\boldsymbol{x}$ 全体です。つまり、連立同次方程式の解集合です。

EXR3 から R2 への写像の核

A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}

とします。 $\boldsymbol{x}=(x,y,z)^{\mathsf T}$ に対して、核の条件は

\begin{cases}x+2y+z=0\\y+z=0\end{cases}

です。第2式から $y=-z$ 、第1式から $x=z$ なので、 $z=t$ と置けば

\ker T =\left\{t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\middle|t\in\mathbb{R}\right\} =\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}.

したがって $\dim\ker T=1$ です。

行列から像を求める

行列 $A$ の列ベクトルを $\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_n$ とすると、

A\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n

です。よって像は列ベクトルが生成する集合です。

単射・全射との関係

二つの入力が同じ出力へ移るとき、 $T(\boldsymbol{u})=T(\boldsymbol{v})$ から $T(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})=\boldsymbol{0}$ です。核に零ベクトル以外がなければ $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}$ なので単射です。全射については、像が「実際に届く出力」の集合という定義そのものです。

rank・nullityと次元定理

直感的には、定義域の独立な方向が「核へ入って消える方向」と「像に残る方向」に分かれるという式です。上の例では

3=1+2

で、定義域 $\mathbb{R}^3$ の3方向のうち1方向が核へ潰れ、2方向が像に現れます。

練習問題

Q核・像・次元を求める★☆☆

A=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix},\qquad T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}

について、 $\ker T$ 、 $\operatorname{Im}T$ 、rank、nullityを求めてください。

HINTヒントを見る

核では $x+y=0$ を解きます。像では2本の列ベクトルが互いに何倍かを確認します。

ANS解答を見る

$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ は $x+y=0$ と同値なので、

\ker T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\right\}.

2本の列ベクトルはどちらも $(1,2)^{\mathsf T}$ なので、

\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\right\}.

したがって $\operatorname{nullity}T=1$ 、 $\operatorname{rank}T=1$ で、 $\dim\mathbb{R}^2=1+1$ と次元定理にも一致します。

Q写像の単射・全射を判定する★★☆

S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad S(x,y,z)=(x+y,\ y+z)

について、核と像を求め、単射・全射か判定してください。

HINTヒントを見る

核では $x+y=0$ 、 $y+z=0$ を解きます。像では行列

\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}

の列ベクトルを見ます。

ANS解答を見る

$y=t$ と置くと $x=-t,z=-t$ なので、

\ker S=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\right\}.

零ベクトル以外を含むため単射ではありません。一方、行列の第1列 $(1,0)^{\mathsf T}$ と第3列 $(0,1)^{\mathsf T}$ が $\mathbb{R}^2$ を生成するので、 $\operatorname{Im}S=\mathbb{R}^2$ です。したがって全射です。rankは2、nullityは1で、 $3=1+2$ が成り立ちます。

Q次元定理から単射・全射を判定する★★★

線形写像 $T:\mathbb R^4\to\mathbb R^2$ が $\dim\operatorname{Im}T=2$ を満たすとします。 $\dim\ker T$ を求め、 $T$ が単射・全射か判定してください。

HINTヒントを見る

有限次元の次元定理と、終域

\mathbb R^2

の次元を使います。

ANS解答を見る

次元定理から

4=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim\ker T+2

なので $\dim\ker T=2$ です。像は2次元で終域 $\mathbb R^2$ と一致するため全射です。一方、核が零ベクトルだけではないので単射ではありません。