保存力場とポテンシャル

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約100分

保存力場の線積分は経路ではなく始点と終点だけで決まり、ポテンシャルの差として計算できます。

GOALこの記事で分かること

• 保存力場とポテンシャルを定義できる
• 線積分の基本定理を使える
• 成分からポテンシャルを復元できる
• curlが0でも領域条件が必要と説明できる

PRE前提知識

線積分と発散・回転を使います。

保存力場とポテンシャル

DEF保存力場

領域 $D$ 上で $F=\nabla\phi$ となるスカラー関数 $\phi$ が存在するとき、$F$ を保存力場、$\phi$ をポテンシャルと呼びます。$\phi+C$ も同じ場を与えます。

THM線積分の基本定理

$F=\nabla\phi$ で、$C$ が $A$ から $B$ への区分的に滑らかな曲線なら $\int_CF\cdot d\boldsymbol r=\phi(B)-\phi(A).$ したがって積分は経路独立で、閉曲線上では0です。逆に、連結領域で経路独立ならポテンシャルを構成できます。

ポテンシャルを求める例

EX二次元のポテンシャル

$F=(2xy+1,x^2+2y)$ とします。$\phi_x=2xy+1$ を $x$ で積分して $\phi=x^2y+x+h(y)$。$\phi_y=x^2+h'(y)=x^2+2y$ より $h=y^2+C$。全成分を再微分すると $F=\nabla\phi$ です。

EX三次元のポテンシャル

$F=(y+z,x+z,x+y)$ には $\phi=xy+xz+yz+C$ があり、任意の経路で $(0,0,0)$ から $(1,2,3)$ への積分は $2+3+6=11$ です。

THMcurlと領域条件

$F$ が $C^1$ の保存力場なら $\operatorname{curl}F=0$。逆に、単連結な開領域、直感的には領域内の閉曲線を穴に引っ掛けず点へ縮められる領域で、$C^1$ 場のcurlが0なら保存力場です。

領域の穴に関する注意

!よくある誤解

$\mathbb R^2\setminus\{0\}$ 上の $F=(-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})$ はcurlが0ですが、単位円の反時計回り積分は $2\pi$。穴があるため大域的ポテンシャルはありません。

物理では力 $F=-\nabla U$ とポテンシャルエネルギー $U$ を定義する流儀が一般的です。本記事の数学的ポテンシャル $\phi$ とは符号が逆になる場合があります。

練習問題

Q基本：ポテンシャル★☆☆

$F=(2x,2y)$ のポテンシャルを求めてください。

HINTヒントを見る

$x$ 成分から積分します。

ANS解答を見る

$\phi=x^2+y^2+C$ です。

Q標準：経路独立★★☆

前問の場を $(0,0)$ から $(1,2)$ まで積分してください。

HINTヒントを見る

ポテンシャル差を使います。

ANS解答を見る

$\phi(1,2)-\phi(0,0)=1+4=5$ です。

Q発展：整合性★★★

$F=(y+2x,x+2y)$ が保存的か確認し、ポテンシャルを求めてください。

HINTヒントを見る

$P_y=Q_x=1$ で、領域は $\mathbb R^2$ です。

ANS解答を見る

$\phi=xy+x^2+y^2+C$。勾配は $(y+2x,x+2y)$ に一致します。

KEY要点のまとめ

• 保存力場は勾配場
• 線積分はポテンシャルの終点差
• 経路独立でも積分が常に0なのではない
• curl 0の逆には単連結性などの領域条件が必要

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